Отличия:

1. clientWidth возвращает число, а getComputedStyle(elem).width – строку с px на конце.
2. getComputedStyle не всегда даст ширину, он может вернуть, к примеру, "auto" для строчного элемента.
3. clientWidth соответствует внутренней области элемента, включая внутренние отступы padding, а CSS-ширина (при стандартном значении box-sizing) соответствует внутренней области без внутренних отступов padding.
4. Если есть полоса прокрутки, и для неё зарезервировано место, то некоторые браузеры вычитают его из CSS-ширины (т.к. оно больше недоступно для содержимого), а некоторые – нет. Свойство clientWidth всегда ведёт себя одинаково: оно всегда обозначает размер за вычетом прокрутки, т.е. реально доступный для содержимого.